UP Board Solutions for Class 7 Maths Chapter 9 व्यंजकों का गुणनखण्ड

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अभ्यास 9 (a)

प्रश्न 1.
दिये गये पदों के उभयनिष्ठ गुणनखण्ड लिखिए4
(i) 7xy, 35 x²y²
हलः
7xy के गुणनखण्ड = 7 × x × y
35 x²y² के गुणनखण्ड = 5 × 7 × x × x × y × y
उभय निष्ठ गुणनखण्ड = 7 × x × y
= 7xy

(ii) 4m², 6m², 8m3
हलः
4m² के गुणनखण्ड = 2 × 2 × m × mx
6m² के गुणनखण्ड = 2 × 3 × m × m
8m³ के गुणनखण्ड = 2 × 2 × 2 × m × m ×m
उभयनिष्ठ गुणनखण्ड = 2 × m × m = 2m²

(iii) 3a, 21 ab
हलः
3a के गुणनखण्ड = 3 × a
21 a के गुणनखण्ड = 3 × 7 × a × b
उभयनिष्ठ गुणनखण्ड = 3 × a = 3a

प्रश्न 2.
व्यंजक 7pq + 8qr + 3qs का एक उभयनिष्ठ गुणनखण्ड होगाः
(i) q
(ii)r
(iii) p+q+r
(iv) 3s
हलः
7pq के गुणनखण्ड =7 × q × 1
8qr के गुणनखण्ड =2 × 2 × 2 × q × r
3qs के गुणनखण्ड = 3 × q × s
उभयनिष्ठ गुणनखण्ड = q

प्रश्न 3.
व्यंजक b (6a – b) + 2c (6a + b) के पदों का उभयनिष्ठ गुणनखण्ड होगा
(i) b
(ii) 2c
(iii) (ba – b)
(iv) a – b
हलः
b (6a – b) के गुणनखण्ड = b × (6a – b)
2c (6a – b) के गुणनखण्ड =2 × cx (6a – b)
उभयनिष्ठ गुणनखण्ड = (6a – b)

प्रश्न 4.
निम्नलिखित के गुणनखण्ड कीजिए
(i) 5x² – 25xy
हल :
5x² – 25xy
= 5x (x – 5y)

(ii) 9a² – 6ax
हल :
9a² – 6ax
= 3a (3a – 2x)

(iii) 36ab – 60 a°be
हल :
36 a²b – 60 a²bc
= 12ab(3a – 5ac)

(iv) 6P+ 8P²-4P³
हल :6P + 8P² – 4P³
= 2P (3 + 4P – 2P²)

(v) 3a²be + 6ab²c + 9abc²
हलः
3a²bc + 6ab²c + 9abc²
= 3abc (a + 2b = 3c)

प्रश्न 5.
निम्नलिखित के गुणनखण्ड कीजिए
(i) x(x – 2) +3 (x – 2)
हल :
x(x – 2) + 3 (x – 2)
= (x – 2) (x + 3)

(ii) 7(a – a) + 7(4 – a)
हल :
7(a – a) + 7 (4 – a)
= (a – 4) – 7(a – 4) = 0

(iii) 2y (y + 5)-3(y + 5)
हल :
2y(y + 5) – 3(y + 5)
= (y + 5) (2y – 3)

(iv) (d-7) +7 (d – 7)
हल :(d – 7)²  + 7(d – 7)
= (d – y)² + 7(d – 7)
= (d-y) + (d – 7 + 7)
= (d – 7) × d
=d(d – 7)

(v) a(a – 5) + 9 (5 – a)
हल :
a(a – 5) + 9 (5 – a)
= a(a – b) + 9(5 – a)
= (a – 5) (a – 9)

(vi) (z-2) -3 (z-2)
हल :
(z – 2)² – 3(z – 2)
= (z – 2) (z – 2 – 3)
= (z – 2) (z – 5)

(vii) 17 (a +3) +17 (3 – a)
हल :
17 (a + 3) + 17 (3 – a)
= 17 (a + 3) – 17 (a – 3)
= 17 (a + 3 – a + 3)
= 17 × 6 = 102

अभ्यास 9 (b)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित व्यंजकों के गुणनखण्ड कीजिए, जबकि व्यंजकों के प्रत्येक पद में एक उभयनिष्ठ गुणनखण्ड हैं
(i) x(y-z) +4 (y-z)
हल :
x(y – z) + 4 (y – z)
= (y – z) (x + 4)

(ii) 2(5 + b)-7 (5+ b)
हल :
2(5 + b) -7 (5 + b)
= (5 + b) (2 – y)
=-5(5 + b)

(iii) y(a² + x) – a² = x)
हल :
y(a² + x) – a² = x)
= (a² + x) (y- 1)

(iv) a(a + 3) -5 (3 + a)
हल :
a(a + 3) -5 (3 + a),
= (a + 3) (9 – 5)

प्रश्न 2.
निम्नलिखित के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए।
(i) x³ + 2x² = 5x + 10
हल :
x³ + 2x² + 5x + 10
= x²(x + 2) + 5(x + 2)
= (x + 2) (x² + 5)

(ii) 3ax – 6xy + 8by – 4ab
हल :
3ax – 6xy + 8by – 4ab
= 3ax – 6xy -4ab + 8by
= 3x (a – 2y) – 4b (a – 2y)
= (a – 2y) (3x – 4b)

(iii) ax + cx’ + ay-bx + cy
हल :
ax² + cx² + ay² – by² – bx² +cy²
= ax² – bx² + cx² + ay² – by² + cy²
= x² (a – b + c) + y² (a – b + c)
= (a – b + c) (x² + y²)

(iv) ab² – (a-c) b-c
हल :
ab² – (a – c) b – c
= ab² – ab + bc – c
= ab (b – 1) + c(b – 1)
= (b – 1) (ab + 1)

(v) p²q – pr² – pq + r²
हल :
p²q – pq² – pq + r²
=pq (p – 1) – r²(p – 1)
= (p – 1) (pq – r²)

प्रश्न 3.
व्यंजनक 50xy +10yx + 30xy + 6y’ का गुणनखण्ड कीजिए। यदि x = 1,y = 2 हो तो दिये गये व्यंजक के गुणनखण्ड का मान ज्ञात करें।
हल :
50x²y + 10y²x + 30xy + 6y²
= 10y²x + 50x²y + 6y² + 30xy
= 10xy (y + 5x) + 6y (y + 5x)
= (y + 5x) (10xy +6y)
यदि x = 1, तथा y = 2 रखने पर
= (x +5 × 1) (10 × 1 × 2 + 6 × 2)
= (2 + 5) (20 + 12)
=7 × 32 = 224

प्रश्न 4.
उस समकोण त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात करें, जिसका क्षेत्रफल है।
हल :
समकोण ∆ का क्षेत्रफल = × आधार × ऊँचाई
= × आधार × ऊँचाई
ab² + b² = आधार × ऊँचाई
∆ की भुजा = b तथा (a + b)

दक्षता अभ्यास 9

प्रश्न 1.
निम्नलिखित व्यंजकों के गुणनखण्ड कीजिए :
(i) 4a – 12
हल :
4a – 12
= 4 (a-3)

(ii) ac – be + c + cb
हल :
ac – bc + c + cb
= (a – b + c + b)
= c (a + c)

(iii) 36P +45 P
हल :
36P + 45P³
(4 + 5P²)

(iv) y² – 8ay
हल :
y² – 8ay = 9P
= y(y – 8a)

(v) 7a +7b
हल :
7a + 7b
= 7(a + b)

(vi) 3a³x – 45a²x – 18a
हल :
3a³x – 45a²x – 18a
= 3a(a – 15ax – 6)

प्रश्न 2.
निम्नलिखित को गुणनखंड की सहायता से सरल कीजिए

प्रश्न 3.
निमनलिखिते व्यंजनों के गुणनखंड कीजिए
(i) xy (z² + a²)- x²za – y²za
हल :
= xy (z² + a²) – x²za – y²za
= xyz² + xya² – x²za – y²za
= xyz² – x²za +xya² – y²za
= xy(yz – xa) + ya(xa – yz)
(yz – xa) (xy – ya)

(ii). p³ + p + q – 1 – p² – pq
हल :
p³ + p + q – 1 – p² – pq
= p³ – pq + p – p² + q – 1
= p(p² – q + 1) – 1(p² – q + 1)
= (p² – q + 1) (p – 1)

(iii). 2ab² – aby + 2cby – cy²
हल :
2ab² – aby + 2cby – cy²
= 2ab² – aby + 2cby – cy²
= ab(2b – y) + cy (2b – y)
= (2b – y) (ab + cy)

(vi) x² +y³ + xy (y + 1)
हल :
x² + y³ + xy(y + 1)
= x²+ y³ + xy + xy
= x² + xy + xy² + y³
= x(x +y) + y²(x +y)
= (x + y) (x + y²)

प्रश्न 4.
निम्नलिखित के मान गुणनखंड की सहायता से ज्ञात कीजिए
(i) 23 x 72 +77 x 72
हल :
23 × 72 + 77 × 72
= 72(23 + 77)
= 72 × 100 = 7200

(ii) 56 × 25 – 25 × 39 – 25 × 17
हल :
56 × 25 – 25 × 39 – 25 × 17
25(56 – 39 – 17)
= 25 × (56 – 56)
= 25 × 0 = 0

(iii) 27 × 47 + 55 × 8 + 27 × 53 + 45 × 8
हल :
27 × 47 + 55 × 8 + 27 × 53 + 45 × 8
= 27 × 47 + 27 × 53 + 55 × 8 + 45 × 8
= 27 × (47 + 53) + 8(55 + 45)
= 27 × 100 + 8 × 100
= 2700 + 800 = 3500

प्रश्न 5.
रिक्त स्थान भरिए
(i) ut + (at²) = (u + at) (t)
(ii) a³ – a²b² – ab + b³ = (a – b) (a² – b)
(iii) 3x² + 6x²y + 9xy² = (3x) (x + 2xy + 3y²)

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